类比是否是数学思想

问题是数学的心脏，思维是数学的灵魂。数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似。”类比是一种间接推理的思想方法，也是一种数学学习的基本方法。类比是利用两对象的某些相似性，由此对象的某些性质或结论，猜测乃至证明另一对象的相应性或结论，由处理此对象的某些方法，利用相似性移植或稍加改动后移植于另一系统，用以处理另一对象的相似的性质或结论。把两个数学对象比较，找出他们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其他属性也有类似的地方，这在数学教学乃至学习中都是至关重要的一种思想。

康德说过:“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。”

在数学学习中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，而且在不同分支、不同领域中会感到某种类似的成份。如果我们把这些类似进行比较，加以联想的话可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象的性质的方法就是类比思想法。

走进类比思想

类比是一种主观的不充分的似真推理，具有假设、猜想特质。我们也要注意所类比的两个事物在本质上是否是相同或相似的，不能只顾形式上的一致而忽略本质不同的问题。比如用乌龟长寿和静止两个现象，推断出人要长寿就要静止，就是类比谬误。

因此，要确认类比推理的正确性，必须经过严格的逻辑论证．

1、升(降)维类比

例如将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比。

2、结构类比 某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。

初中学习的正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数在概念的得来、图象性质的研究、及基本解题方法上都有着本质上的相似。采用类比的方法不但省时、省力，还有助于学生的理解和应用。是一种既经济又实效的教学方法。

3、简化类比 就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法。比如先将一般问题类比为特殊问题，多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题等。

类比思想教学应用

一、数学概念的类比

1、同底数幂的乘法：6m×6n =6m+n

同底数幂的除法：6m÷6n =6m-n

乘法对应指数的加法除法对应指数的减法，通过类比便于理解和记忆。当然还有积的乘方与幂的乘方等。

2、三角形全等的判定：

边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）

角边角公理：有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）

角角边定理：有两个角和它们其中一个角的对边对应相等两个三角形全等（AAS）.这些公理（定理）有极大的相似性，只有通过类比，找出它们的不同于相同点，才更有利于学习和应用。

二、不同知识系统之间的类比

在数学的学习中，很多知识都有许多相似之处：图形的全等：指的是图形的形状相同且大小相等图形的相似研究的是图形的形状相同，大小（可以）不等，全等的判定有：SAS，SSS，AAS，HL而三角形相似的判定有：“SAS”，“SSS”，“AA”，“HL”等，这是何等的相似

例如：合并同类项与合并同类二次格式类比二次根式的和相乘与多项式乘法类比通过与分数的类比来研究分式的概念、基本性质、通分、约分、运算等由假分数化成带分数继而化为整数部分和分数部分的和，联想到在分子的次数不低于分母次数的分式中可以用带余除法将分式转化为整式部分和分式部分的和通过与等式基本性质的类比来学习不等式的基本性质学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比

当然还有很多如：相似与位似，平行线的几个判定定理，平方根与立方根，方程与不等式等等。如果我们能够恰当的利用类比的数学思想，会使学生在学习的过程中，对新的知识会有“似曾相识”感觉，有利于学生已有知识的正迁移，是学习有事半功倍的效果。

三、学习过程的类比

1、在小学学生学习了分数以及约分、通分，分数的乘除和分数的加减，而约分主要用于分数的乘除，通分主要用于分数的加减。到初中后，我们学习了分式，分式也有约分、通分，分式的乘除和分式的加减，而约分主要用于分式的乘除，通分主要用于分式的加减。这样通过类比，学生学习新知识，不就轻车熟路了吗

2、学生在第一次学习函数是，学的是正比例函数：我们的学习过程是，先列表，然后描点，在画图，分析图像找到函数的性质，最后应用我们在学习一次函数也是先列表，然后描点，在画图，分析图像找到函数的性质，最后应用。那么，通过类比，我们想，我们再学习反比例函数和二次函数时，不就有了方法吗这样学生的学习才会驾输就轻当然，在学习了一元一次方程解法后，我们就可以类比学习二元一次方程的解法等等。也就是说我们教会学生的不仅仅是知识，更重要的是方法，使他们懂得了学习方法和学习的技巧，极大地提高了学生的素质，这恐怕才是教育的灵魂吧。

四、解题思路的类比

面对数学中的大题，很多学生都望而却步，如：

如图（1），在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，BD和AC相等吗并说明理由。

在这个问题中，BD和AC显然相等。因为△BED≌△AEC，条件是：AE=BE，DE=CE，∠BED=∠CED.

（2）若连结CD，使△CDE绕点E顺时针旋转一定的角度（2），请判断BD和AC的大小关系是否发生变化

类比刚才证明过程：条件是：AE=BE，DE=CE，∠BED=∠CED.。现在还能证明△BED≌△AEC吗? AE=BE，DE=CE，仍然成立，∠BED=∠CEA吗显然相等。所以：BD=AC.

若将△CDE绕点E逆时针旋转一定的角度呢（3）

（3）类比刚才证明过程：现在还能证明△BED≌△AEC吗? AE=BE，DE=CE，仍然成立，∠BED=∠CEA吗显然相等。所以：BD=AC.

通过本题发现：图（2）、（3）是在（1）的基础上的变式和延伸，这使本体的深度上有了新的突破，但是通过类比发现它们的证明思路都是相似的，无论是顺时针还是逆时针，它们的证明思路没有变：都是通过证明△BED≌△AEC，得到的，这不是巧合，这恰恰体现了数学类比思想的美！

教学反思

在数学教学过程中，若能注意介绍类比的方法， 并引导学生应用， 不仅有利于学生对数学概念、原理和数学解题方法的深入理解，亦可促进学生在论证和解题中发现一些新的方法，有助于学生提高数学思维能力。

所谓数学变式训练，即是对概念、性质、定理、公式，以及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景做出有效的变化，使其条件或形式发生变化，而本质特征却不变. “变”，可以是变形式、变数值、变解法、变设问、变位思考……在“变”中找到内在联系和共通点，做到方法归纳，题目归类，能有效地克服思维的肤浅性、盲目性和狭隘性等，而且能开拓解题思路，培养探索意识，从而达到举一反三、触类旁通的效果.

数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。

通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

这要求我们在日常练习中多积累、多观察，敢于思考，敢于联想，敢于怀疑. 在解决问题以后，要善于反思：该题考查了哪些知识点、考查了什么方法，以前有没有做过类似的问题，有没有更好的解决方法. 把考查相同知识点或相同思想方法的问题放到一起，观察问题之间的联系，从题目文字背景、数据特点、设问方式等方面，发现总结它们之间的相同点与不同点，然后尝试自己更改一下题目的数据或者设问方式再去解决问题，如此循环往复，我们就不难掌握解题的方法，并将所学的知识融会贯通，培养思维的灵活性与广阔性.